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浅议泰勒公式应用

    作者:郭鑫 林卓    [ 2008-12-4 21:02:58 ]

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代写论文

【摘  要】着重论述了泰勒公式在近似计算、极限运算、级数与广义积分的敛散性判断等方面的具体应用方法

【关键词】泰勒公式; 极限; 定积分; 级数; 广义积分; 敛散性

泰勒公式是高等数学中的一个重要的内容, 但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数, 而对泰勒公式的应用方法并未进行深入讨论在高等数学教材中, 一般只讲泰勒公式及rL个常用函数的麦克劳林公式, 对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用

1 关于泰勒公式的两个定理及用泰勒公式进行函数展开的方法

定理1(带有皮亚诺余项的泰勒公式)设函数f(x)x0n阶可微, 则在x0的近旁成立

f(x)=f(x0)+f(x0)x-x0+[f´(x0)/2]x-x0 2+V+[fx0(n)/n]!(x-x0)n+O(x-x0)n

特别的, x0=0,

f(x)=f(0)+f´(0)x+[f(0)/2]x2+V+f (n)+O(x) n

定理2 (带有拉格朗日余项的泰勒公式)设函数f( x) x0 的某邻域内n+l阶可微, 则在此邻域内成立:

f(x)=f(x0)+f(x0)x-x0+[f´(x0)/2]x-x0 2+V+[f (n) (x0)/n]!(x-x0)n+{f(n+l)[x0x-x0]/(n+l)!}O(x-x0)n

其中0Ø1

特别的, x0=0

f(x)=f(0)+f´(0)x+[f´(0)/2]x2+V+[f (n) (0)/n!]xn+{f(n+l)(Øx)/(n+l)!}xn+l

应用以上定理, 下列几个基本函数可直接展开为

1.ex=1+x+x2/2!+x3/3!+V+xn/n!+0(xn)

2.sinx=x-x3/3!+x5/5!+V+(-1)m{x2m+1/[(2m+1)!}+0(x2m+2)

3.cosx=1-x2/2!+x4/4!+V+(-1)m{x2m/[(2m)!]}+0(x2m+1)

4.ln(1+x)=1-x2/2!+x3/3!+V+(-1)n-1[xn/n!]+0(xn)

5.(1+x)a=1+ax+{[a(a-1)x2]/(2!)}+V+{[a(a-1)V(a-n-1)xn]/(n!)}+0(xn)

利用上述结论并使用间接展开的方法, 即可求出一些复合函数的展开式.:

例一: ex2/2x=0 点附近的泰勒展开式,展开到x4 (使用皮亚诺余项)

解应用上面ex 的展开式, -(x2/2)x即可得到

e-(x2/2)=1+[(-1/2)x2]+(1/2!)[(1/2)x2] 2+0(x4)=1-(1/2)x2+(1/8)x4+0(x4)

例二: 求函数lncosx x=0 点附近的泰勒展开式, 展开到项(使用皮亚诺余项)

解将这两个式子做复合展开, 即可得到:

cosx=ln{1-x2/2!+x4/4!+0(x3)}+ln{1+{-(x2/2!)+x4/4!+0(x3)}}

=[-(x2/2!)+x4/4!+ 0(x3)]-1/2[-(x2/2!)+0(x2)]2+0{[-(x2/2!)+0(x2)]2}

=-(x2/2)-(x4/12)0(x4)

…………………………未完

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