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对一类五次多项式系统中心焦点的判定

    作者:唐桥,刘兴国    [ 2009-1-23 16:45:51 ]

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代写论文
 摘要:采用常微分方程定性理论的经典方法,对一类平面五次多项式系统进行定性分析。运用基于H. Poincaré思想的形式级数法,对系统进行细焦点的分析;利用对称原理对系统进行中心判定;利用Hopf 分支理论根据参数变化时焦点稳定性的变化,分析得到极限环存在的若干充分条件。

关键词:五次系统;中心;焦点;极限环;存在性

1.背景知识

随着科学技术的迅猛发展,有关极限环的理论已得到广泛应用,而工程技术的需要又反过来推动了极限环的研究。在平面定性理论中,极限环的存在与否、唯一性及个数等的研究对于非线性系统轨线的大范围性态的分析也是至关重要的。与此密切相关的著名的Hilbert 16 问题,于1900 年在巴黎国际数学会议上提出之后,引起了愈来愈多的数学家的关注,其困难程度也一直困扰着人们。为解决这一难题,已出现了大量的研究论文,在很大程度上促进了定性理论的发展。围绕Hilbert16问题的进展在20世纪50年代以前成绩有限,20 世纪50 年代以后,苏联的数学家和中国的数学家在极限环理论研究方面做出了许多贡献。对于n=2 Hilbert 16 问题,即平面二次系统的定性研究,我国的数学工作者已经取得了丰硕的成果。对于n3的情况,1980 年以前比较好的结果是苏联人K.C.CHБИPCK 的工作,他证明了缺二次项的三次系统在原点充分小的领域内可以有5 个极限环。1975年,史松龄给出了一个具体的例子,说明上述分布是能够实现的。20 世纪80 年代以后,具有代表性的工作是李继彬等发现了三次系统具有比二次系统复杂得多的极限环分布,并发现(E3)存在具有n 个极限环的复眼分支。1989 年,李继彬、白敬新又给出了具体的例子,说明一类特定的三次多项式系统,在中心点的充分小邻域内,可由Unfolding 分支产生7 个小振幅极限环。但是,所有这些工作离完全解决Hilbert 16 问题还非常遥远,即使是二次系统这种最简单的非线性情况,极限环的最多个数问题仍悬而未决。还有一些根本性的困难问题没有解决,这些难题又反过来激励人们去研究、去探索,从而推动定性理论的发展。

在微分方程平面系统的定性理论和分支理论中,中心焦点判定问题是极为重要的研究课题。由于焦点量的阶数决定了通过微小扰动在奇点邻域内产生极限

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